QUESTÕES COMENTADAS: PROBLEMAS DE GEOMETRIA.

1) O apótema de um quadrado inscrito em uma circunferência mede 6 cm. Calcule a medida da diagonal do quadrado.

COMENTÁRIO:

A melhor maneira de resolver questões sem figura é fazendo a figura. A figura abaixo tem os dados relevantes sobre o problema. Ela também mostra a melhor maneira de marcamos o raio da circunferência; desta forma, poderemos formar um triângulo retângulo e aplicarmos tudo que sabemos sobre esse tipo de triângulo.

QUADRADO INSCRITO EM UMA CIRCUNFERÊNCIA

Note que a diagonal do quadrado equivale ao dobro do raio (D = 2r) e que o triângulo formado pelo raio, o apótema e o L/2 é isósceles (é fácil notar pelos ângulos) em que
L/2 = a, portanto o lado vale 12 cm.

Agora, aplicamos o teorema de Pitágoras no quadrado:

D² = L² + L² => D² = 12² +12²

portanto, a diagonal do quadrado é

2) A altura de um triângulo equilátero mede 2 cm. Determine seu perímetro e sua área.

COMENTÁRIO:

Para calcularmos o perímetro e a área, devemos obter o lado do triângulo. Para isso, traçando a altura do triângulo equilátero, dividimos um de seus lados em duas partes iguais e formamos um ângulo reto na base, como mostra a figura (Note que isso não acontece com qualquer triângulo). Podemos aplicar o teorema de Pitágoras ou até mesmos as razões seno e tangente para o ângulo de 60º. Por Pitágoras, temos:

Calculando o perímetro:

O perímetro P é a soma de todos os lados de um polígono, logo:

Calculando a área:

Existe uma fórmula para calcular a área de um triângulo equilátero (e apenas o equilátero) sem a altura, mas a questão nos fornece a altura, por isso não lançaremos mão desse recurso.

A área de um triângulo qualquer é dada por

No problema, a base é o lado e a altura vale 2 cm. Portanto,

3) A diagonal de um quadrado mede 3√6 cm. Determine seu perímetro e sua área.

COMENTÁRIO:

Tanto para o cálculo do perímetro como o cálculo da área, necessitamos do lado do quadrado.

Vamos explorar agora as razões trigonométricas.

A diagonal de um quadrado é também bissetriz dos ângulos por onde ela passa (lembre-se que bissetriz é um segmento que divide um ângulo em duas partes iguais), portanto o ângulo formado pela diagonal e o lado é de 45º. Observe a figura:

portanto,

Como já encontramos o lado, basta multiplicar por 4 para obtermos o perímetro e como a área de um quadrado é lado vezes lado (lado ao quadrado), basta aplicarmos a fórmula.

O perímetro é

A área é

4) O perímetro de um quadrado inscrito em uma circunferência é 40 cm. Determine a medida do raio.

COMENTÁRIO:

Observe a figura.

Mais uma vez vamos usar as razões trigonométricas (mas poderíamos resolver de outras formas).

Lembre-se que o apótema divide o lado do polígono regular em duas partes iguais.

Aplicando o cosseno para o ângulo de 45º, temos:

5) Do alto de uma torre de 50 metros de altura, localizada em uma ilha, avista-se a praia sob um ângulo de 45º em relação à horizontal. Qual é a distância da torre à praia?

COMENTÁRIO:

Essa questão é a mais fácil de todas. Basta você conseguir identificar que o triângulo formado é isósceles, pois a torre e a distância dela à praia é a mesma.

Argumentos:

1. A torre forma um ângulo reto com a horizontal.

2. Um dos outros ângulo é 45º.

3. Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º, o outro ângulo só poderá ser de 45º.

4. Se um triângulo tem dois ângulos iguais, então ele tem (pelo menos) dois lados iguais.

Observe a figura.